Monitorování přírodního radiačního pozadí

Motivace

Radioaktivita je přirozenou součástí přírody. Jedná se o přírodní jev, jehož podstatou je samovolná přeměna nestabilních jader chemických prvků, která je doprovázená produkcí ionizujícího záření. Největší část této přírodní radioaktivity pochází z vesmíru a z naší Země (např. plyn radon, který vzniká rozpadem radioaktivních prvků v zemské kůře a jako plyn proniká na povrch). Přírodního radioaktivního pozadí se nemusíme obávat, je součástí našeho životního prostředí a všechny organismy jsou jeho existenci přizpůsobeny. Totiž dvoušroubovice DNA v jádrech buněk, která nese kompletní genetickou informaci jakékoliv živé formy, má do jisté míry samoopravovací schopnost.

Radioaktivitu objevil v roce 1896 Henri Becquerel u solí uranu. K objasnění podstaty radioaktivity zásadním způsobem přispěli Pierre Curie a Marie Curie-Skłodowská.

Teorie

Podstatou přírodního radiačního pozadí je ionizující záření z vesmíru i naší Země. Úroveň tohoto přírodního pozadí závisí na konkrétních místních podmínkách, během času se příliš nemění. Záření dopadá na libovolné místo na Zemi a má náhodný charakter. Není možné předpovědět přesný okamžik, kdy se jedno konkrétní nestabilní jádro rozpadne. Přesto máme k dispozici nástroje (matematickou statistiku a tzv. pravděpodobnost nějakého jevu), kterými můžeme chování přírodního radiačního pozadí popsat. Seznámíme se s některými poznatky matematické statistiky a následně je ověříme na námi naměřených experimentálních datech měření přírodního radiačního pozadí.

Radioaktivitu můžeme registrovat a měřit. Jako detektor používáme tzv. Geigerův-Müllerův čítač, který je tvořen GM trubicí naplněnou vhodným pracovním plynem a připojenou ke zdroji vysokého napětí. Částice některých druhů ionizujícího záření, pro které není kovová stěna GM trubice překážkou, vyvolají v GM trubici lavinový výboj, který způsobí napěťový impulz. Tyto impulzy může registrovat a počítat další elektronický obvod, tzv. čítač, který zaznamená počet n těchto pulzů (událostí) během zvoleného časového intervalu délky T.

Pokud bychom však opakovali měření vždy pro stejný časový interval délky T, naměřili bychom různé počty pulzů n_i. Důvodem je statistický charakter radioaktivity. Přitom některé konkrétní počty n_i naměříme vícekrát než jiné. Pravděpodobnosti, že za dobu měření T naměříme určitý počet pulzů n_i, se vzájemně liší! Matematická statistika však umí tyto pravděpodobnosti určit, předpovědět – mluvíme o tzv. rozdělení pravděpodobnosti. Např. regulérní hrací kostka má rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti, tedy jakékoliv z čísel 1 až 6 musí padnout se stejnou pravděpodobností. Ptáme-li se, s jakou pravděpodobností p_i nastane nějaký jev (např. že z celkem N opakování experimentu naměříme v n_i případech určitý počet pulzů), pak lze v matematické statistice dokázat, že tuto pravděpodobnost určuje tzv. rozdělení binomické neboli Bernoulliho schéma

(1)

kde je tzv. kombinační číslo a p je pravděpodobnost základního jevu (zde rozpadu nestabilního jádra v čase). V našem experimentu však neuvažujeme počet opakování experimentu N-krát, ale dobu každého konkrétního měření T, přičemž předpokládáme přímou úměrnost mezi těmito parametry. (To je logické: větší počet opakování experimentu odpovídá delší době měření T.) Přestože je výpočet pravděpodobnosti v binomickém rozdělení složitý, matematická statistika umí dokázat, že existuje jiné rozdělení, které se pro velký počet opakování N a malé pravděpodobnosti základního jevu p (tj. rozpadu vybraného nestabilního jádra; oba předpoklady jsou v našem experimentu splněny) k binomickému rozdělení velmi dobře přibližuje, velmi dobře jej aproximuje. Tímto rozdělením je tzv. Poissonovo rozdělení, kde místo počtu opakování N rovnou uvažujeme dobu každého jednotlivého měření T (obecně časový či objemový interval), pro které platí:

(2)

kde λ je parametr, který odpovídá očekávané (tzn. nejpravděpodobnější) četnosti jevu v daném časovém intervalu, dále n_i! = n_i·(n_i − 1)·(n_i − 2)n_i…·2·1 je tzv. faktoriál celého čísla n_i a konečně Eulerovo číslo e ≈ 2,71828 je základem přirozené exponenciální funkce. Např. očekáváme-li průměrně 30 pulzů za minutu, potom při opakování 10minutových měření bude λ = 30 ×10 = 300. Hodnotu parametru λ tedy můžeme odhadnout aritmetickým průměrem zjištěných počtů pulzů za zvolenou dobu každého měření (např. automatické nepřetržité měření pozadí v našem vzdáleném experimentu trvá právě 1 minutu).

Kromě zmapování přírodního radiačního pozadí bychom měli ověřit jeho náhodný charakter a výše uvedené poznatky matematické statistiky.

Uspořádání experimentu

Experiment je umístěn na UK MFF Praha, nebudeme ho mít u sebe ve škole či doma a budeme ho ovládat vzdáleně. Budeme k němu přistupovat prostřednictvím internetového prohlížeče MS Internet Explorer, Mozilla Firefox, Opera aj. na WWW stránce http://kdt-35.karlov.mff.cuni.cz/background/experiment_js.html. Důležité upozornění: Váš počítač musí mít nainstalovanou Javu (JRE, Java RunTime Environment, volně stažitelná z www.sun.com). Řízení vzdálených experimentů se děje prostřednictvím Java appletů.

Přístroje a pomůcky:

Geigerův-Müllerův detektor ze soupravy GAMABETA 2007, jednoduchá úprava pro připojení k měřicímu systému ISES.
Měřicí systém ISES.
Software ISES WEB Control pro vzdálené řízení experimentů.
Řídicí počítač (měřicí server) připojený k Internetu.

Obr. 1: Pohled na vzdálenou měřicí aparaturu řízenou přes Internet. Geigerův-Müllerův čítač GM2 průběžně monitoruje přírodní radiační pozadí a je dostatečně schovaný před zdrojem ionizujícího záření. Pohyblivý čítač GM1 se v této úloze nevyužívá. Čítač GM2 je připojen ke vstupu měřicího systému ISES.

Úkoly

Seznamte se se vzdáleným experimentem Monitorování přírodního radiačního pozadí (http://kdt-35.karlov.mff.cuni.cz/background/experiment_js.html). Pozorujte poslední naměřené hodnoty přírodního radiačního pozadí pro minutové, hodinové a celodenní časové intervaly.
Sledujte přírodní radiační pozadí v libovolně zadaném časovém období.
Ověřte statistický charakter přírodního radiačního pozadí.

Pro statistické zpracování zvolte velikost statistického souboru, která je dána nastaveným začátkem a koncem sledovaného období. Statistický soubor si stáhněte do svého počítače. Ve vhodném programu (např. MS Excel) zjistěte základní statistické parametry staženého souboru dat: počet opakování měření N, průměrná hodnota přírodního radiačního pozadí, maximální naměřený počet pulzů aj. Zjistěte četnosti pro jednotlivé počty pulzů 0 až zjištěné maximum (neboli kolikrát jste ve zvoleném období naměřili jednotlivé počty pulzů 0 až maximum). Vyneste do společného grafu vlastní naměřené rozdělení četností a porovnejte jej s průběhem nenormovaného Poissonova rozdělení.

Zpracování

Úkol 1. a 2. si vyzkoušíme na vzdáleném řízení experimentu prostřednictvím ovládacích tlačítek:


	← Průběžný počet pulzů ← Tři poslední naměřené hodnoty a graf s posledními hodnotami v období ← N/A znamená dosud nezměřený (neznámý) údaj.
	← Nastavení začátku (horní řádek) a konce (dolní řádek) sledovaného období a upřesnění typu dat (minutové / hodinové / celodenní intervaly) – zde minutové.
	←Tlačítko pro stažení naměřených dat v nastaveném období (náhled v grafu).
Obr. 2: Uživatelské rozhraní vzdáleného experimentu ke sledování a studiu přírodního radiačního pozadí.

Ověření statistického charakteru přírodního radiačního pozadí je popsáno podrobněji, tak aby si ho mohli realizovat i méně zkušení uživatelé např. programu MS Excel.

Pro statistické zpracování zvolme statistický soubor. Velikost souboru je dána nastaveným začátkem a koncem sledovaného období. Zadejme období, čímž určíme velikost statistického souboru N × T (kde N je počet bodů, každý z nich zpravidla vyhodnocený po T = 1 min měření, např. N × T = 1 až 5 dní, pro delší intervaly trvá přenos dat velmi dlouho a hlavně neobsahuje po sobě jdoucí časové intervaly. Pozn.: Výběr dat z velkého statistického souboru je tedy redukovaný a nejsou to požadované na sebe navazující minutové intervaly – viz údaj o čase jednotlivých záznamů!). Nastavme libovolné období této délky (tj. dvě kalendářní data začátku a konce zkoumaného období). Stiskem příslušného tlačítka (možná se stisknutou klávesou Ctrl – dle nastavení prohlížeče) si nechme stáhnout naměřené hodnoty, které se zobrazí v novém okně webového prohlížeče.

Obr. 3: Statistický soubor naměřených hodnot se zobrazí v novém okně prohlížeče „Historie“. Vlevo je sloupec s minutovými intervaly, vpravo je sloupec s naměřenými počty pulzů přírodního radiačního pozadí za 1 minutu.

V okně s naměřenými hodnotami klikneme (tím jej aktivujeme), stiskneme Ctrl+A (All – označení všech hodnot do bloku), dále stiskneme Ctrl+C (Copy – zkopírování všech hodnot do schránky) a konečně otevřeme prázdný list v tabulkovém procesoru (např. MS Excel), vložíme kurzor např. do pole C10, resp. v nové verzi R10C3) a stiskneme Ctrl+V pro vložení všech hodnot ze schránky; hodnoty se správně vloží do jednotlivých buněk.
Nemáme-li prázdné řádky nad daty, nejlépe tam několik prázdných řádků vložíme. Potom nad sloupec naměřených počtů pulzů pro pozadí necháme spočítat a zobrazit průměrnou hodnotu (případně celkový součet počtů pulzů vydělený počtem hodnot N čili počtem opakování měření), což bude dobrý odhad parametru λ radiačního pozadí, vztažený ke zvolené délce jednotlivých měření (zde např. 1 minuta).
V další prázdné buňce si necháme zobrazit maximální počet pulzů, jaký byl naměřen v námi zvoleném období, tj. v celém datovém souboru). Jsou-li počty pulzů uvedeny ve sloupci D, konkr. v bloku (v poli) D11:D1234, pak do prázdné buňky napíšeme např. =MAX(D11:D1234) čili využijeme funkci maximum z pole hodnot. Do buněk ve vedlejším prázdném sloupci pak vložíme jednotlivé počty pulzů 0 až zjištěné maximum, příp. ještě pár následujících vyšších počtů pulzů (nutně již s četností 0).

Obr. 4: Ověření Poissonova rozdělení pro změřené hodnoty přírodního radiačního pozadí.
Do pravé sousední buňky k počtu pulzů 0 (který je zapsán např. v buňce F11) napíšeme =COUNTIF($D$11:$D$1234;F11) neboli vyhodnocení počtu výskytů, jinými slovy vyhodnocení četnosti hodnoty uvedené v buňce F11 v celém statistickém souboru hodnot D11:D1234). Tento výpočet zkopírujeme do ostatních buněk níže tažením buňky za její pravý dolní roh.
Poznámka: Tuto tabulku četností lze vytvořit i s použitím funkce ČETNOSTI, která vygeneruje pole hodnot – pak bude předpis pro buňku G11 např. {=ČETNOSTI(D11:D1234;F11:F55)}, kde složené závorky představují pole hodnot.
Do vedlejšího sloupce můžeme nechat spočítat odpovídající hodnotu nenormovaného Poissonova rozdělení, tj. hodnotu normovaného Poissonova rozdělení v pravém sousedním sloupci vynásobenou zkusmo nalezeným koeficientem (zde v buňce I7). Hodnotu normovaného Poissonova rozdělení např. ve sloupci I vypočteme přímo podle vzorce (2) nebo s použitím předdefinované funkce POISSON

I11=POISSON(buňka_s_počtem_pulzů_např._F11;odhad_parametru_λ_čili_buňka_s_průměrným_počtem_pulzů;NEPRAVDA),

např. v dalším řádku tedy bude

I12=POISSON(F12;$D$6;NEPRAVDA),

kde $ označuje neměnnou souřadnici buňky při kopírování, zatímco první parametr funkce POISSON se při kopírování automaticky mění. Hodnoty ve sloupci H pak budou násobky hodnot ve sloupci I s koeficientem ve vybrané buňce (zde $I$7).
Konečně můžeme nechat zobrazit graf četností jednotlivých počtů pulzů 0 až maximum (vodorovná osa odpovídá např. sloupci F, svislá osa sloupci G a ve stejném grafu můžeme uvést i teoretickou očekávanou četnost nenormovaného Poissonova rozdělení ve sloupci H. Ta se překresluje po každé změně koeficientu pro přepočet (zde v buňce I7).

Závěr

V úloze jsme se přesvědčili o vždy přítomném přírodním radiačním pozadí, změřili jsme jeho okamžitou velikost, resp. jeho velikost ve zvoleném časovém období. Hlubší fyzikální zpracování úlohy nám demonstrovalo jeho statistický charakter. Tuto náhodnou povahu lze popsat Poissonovým rozdělením pro četnosti řídkých jevů.

Přírodní radiační pozadí je součástí naší přírody, způsobují ho jednak rozpady nestabilních jader v zemské kůře, příp. v jejím horním plášti, jednak kosmické záření a jeho interakce se zemskou atmosférou, kdy vznikají tzv. spršky kosmického záření. Radioaktivní záření je součástí vesmíru od jeho vzniku. Na současnou úroveň přírodního radiačního pozadí jsou všechny organismy, příroda i člověk dobře přizpůsobeny.

Autoři úloh: Lustig, F., Brom, P., Dvořák, J. (2011)